outer measure定義

好久沒好好整理筆記了。
最近終於讀到了傳說中的實分析,前期蠻多都要呼應到高等微積分(這時候Rudin當工具書很好用),原則上如果時間足夠的話,我會希望我自己也能在這邊多補充一點前置概念,畢竟我自己就是基礎打得不怎麼好的人,當然也希望能就同病相憐的人一把啦XD
但礙於時間關係,我的方式大概跟之前一樣,先把學習筆記先弄上來再說。所以如果有不清楚的部份,很歡迎留言讓我知道,這將會成為我很棒的學習機會。

先來個熱騰騰的定義。

Definition (outer measure)

\(\text {Let } E \subseteq \mathbb{R} \text { be any subset.}\ \)
\(\text {Denote the outer measure of } E \text { by } m_*(E). \ \)

\(m_*(E):=\inf \left \{ \displaystyle{\sum^{\infty}_{j=1} \left | Q_j \right | : E \subset \bigcup _{j=1}^{\infty} Q_j } \right \} \)

\(\text {where } Q_j \text {'s are closed cubes in } \mathbb{R^n} \)

白話解釋

找到可以蓋住E的所有cube(也就是\(Q_j\)),取cube體積加總後最小的那個。

當然,可以無限做這種取cube的動作,不一定每個cube都要一樣大小,以確保有好的inf可以取(總而言之就是無限逼近你想要的區域)。
之後有空的話我會畫個簡單的圖,不過我相信會看到這篇的,想像這部份的圖應該不至於太困難。

Remarks

  • \(0 \leq m_*(E) \leq \infty \)
  • 要注意我們在outer measure 的定義中取的範圍是「無限多組」cube,也就是說,如果把無限改成有限個,並不會是原先定義中的outer measure。然而這也是另有一個名稱,下面將要介紹到。
  • 另一個要注意的點是取的cube是”closed in \(\mathbb{R}^n\)”。
  • 其實不一定要是cube,我們把cube替代成為別種樣子,像是rectangle或是ball(這些形狀的定義就自己去查XD)。
  • 關於單點和空集合:
    \(m_{*}(\varnothing)=0=m_{*}( \{ p \} ),\; \forall p \in \mathbb{R}^n \)

Definition (Jordan content)

\(\text{Let } J_*(E) \text{ be the outer Jordan content of } E \subseteq \mathbb{R}^n \)

\(J_*(E):=\inf \left \{ \displaystyle{\sum^{J}_{j=1} \left | Q_j \right | : E \subset \bigcup _{j=1}^{J} Q_j } \right \} \text{for some } J \in \mathbb{N} \)

這邊只有改變取cube的加總範圍是有限的。

跟outer measure不一樣之處

要簡單了解不一樣的地方,就是舉例子。
隨便在網路上搜尋,或是用以前學高等微積分的思維模式,應該可以很快舉出反例:

遇到這種我們要建立一個明顯可數的又可以簡單計算的一個集合。這時通常會挑 \(\mathbb{Q}\) feat.一個簡單區間(我這種底子差的記憶法XD)。

詳細等未來再補充。

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