[calculus] (ε, δ)-definition of limit

剛接觸微積分時,以為微積分不過就是像高中一樣,只是把算式多加幾個看起來很專業的符號。讀了數學才知道,才剛進門就碰觸到的 epsilon-delta 定義竟然是新手大魔王,一旦觀念不清楚後面再怎麼會算大概也不是真正了解微積分的真理,甚至往後到高階數學都會有一層霧在腦中。

以前我也是以為這種定義鑽牛角尖就跳過…… 後果蠻慘的啦,很多分析概念都不懂或是自以為懂。反而是畢業了之後加了相關數學社團,裡面有很上進的高中生想要先了解微積分問了大家推薦的課程,看到下面留言一堆人二話不說推薦高淑蓉老師。聽了真的後悔…… 後悔自己竟然觀望那麼久才聽XD 老師觀念超級清晰,前幾堂課也苦口婆心教大家做筆記的態度,非常受用也獲益良多。因此很想把他的觀念用我的方式再整理一次加深印象。這個課程非常適合初學者認識概念,也非常適合高階者再次釐清觀念。

廢話不多提,這篇主要是紀錄 \(\varepsilon - \delta \) definition 的基本觀念釐清。


基本前導概念

函式

首先要弄懂函式的概念,主要有幾點:

  • 一個定義域對應到一個值域的方式
  • 不能一對多

極限的粗略概念

現在有一個函式\(f(x)\),當 \(x\) 很靠近 \(c\) 時,這個函式會發生什麼事?
我們會把這個狀況記錄成 \(\displaystyle{\lim_{x\to c}f(x)}\)

極限有幾項特點:

  • 極限討論的是”很靠近”某個點(例如點c好了)所對應的值,所以函數在那個點c有沒有定義並不重要。
  • 從左邊靠近、從右邊靠近都會對應到同一個點,我們才會說這個極限存在;
    換句話說,左極限、右極限存在且左極限=右極限,那麼這個函式的極限就存在。
  • 我們討論的範圍是專注在某個點附近,也就是說我們只在意這範圍,再更外面的值,就算函式再怎麼亂跑,都不關我們的事。

極限記錄方式

當 \(x\) 很靠近 \(2\) 時,\(f(x)=x^2\)這個函式會越來越靠近\(4\)
我們習慣記錄成:\(\displaystyle{\lim_{x\to 2}f(x)=4}\)

用符號記下來

我們討論的是數學,自然要把這些概念用數學語言表示出來。所以接下來就會慢慢帶入 \(\varepsilon \) 和 \(\delta \) 了

所謂很靠近的意思

上面對於極限的特點有講到”很靠近”,這個”很靠近”是指距離上的,在數學上我們通常習慣用絕對值去表示一個距離。這裡有兩種狀況:

  • 在y軸上,我們用 \(\varepsilon \) 去靠近 \(f(x)\) 在y軸上的值 \(L\)
    \(\left| f(x)-L \right|<\varepsilon\)
  • 在x軸上,我們用 \(\delta \) 去靠近 \(x\) 在x軸上的值 \(c\)
    \(\left| x-c \right|<\delta\)

老師在這邊有特別提醒我們注意這兩點的先後和對應關係,並說:
對 \(\varepsilon \) 的靠近是由 \(\delta \) 的靠近所完成。

無敵靠近

既然都說要討論”極限”,也就是說我們的”很靠近”必須是無敵靠近,用老師的話說就是「要多靠近就有多靠近」。我們已經知道在x軸和y軸上變數的距離表示了,那麼對於這個無敵靠近的概念,又要如何用數學式子表示?

首先得先知道這個概念是動態的,因此數字並不會固定。

從上一個討論靠近這個意義的概念再次疊加上去:
對於每一個 \(\varepsilon \) 靠近,皆存在有 \(\delta \) 的靠近,
使得對每一個 \(x\) 在 \(0< \left| x-c \right| <\delta\) ,都滿足 \(\left|f(x)-L\right|<\varepsilon\)

\(\varepsilon - \delta \) definition

接著把以上疊加過後的概念再用更數學的方式寫出來即可。

Def

We say that \(\displaystyle{\lim_{x \to c}f(x)=L}\)
if \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\) such that \(\forall x \; in \; 0<\left|x-c\right|<\delta, \; \left|f(x)-c\right|<\varepsilon\)

Def (從左靠近)

We say that \(\displaystyle{\lim_{x \to c^-}f(x)=L}\)
if \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\) such that \(\forall x \; in \; (c-\delta,c), \; \left|f(x)-c\right|<\varepsilon\)

Def (從右靠近)

We say that \(\displaystyle{\lim_{x \to c^+}f(x)=L}\)
if \(\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0\) such that \(\forall x \; in \; (c,c+\delta), \; \left|f(x)-c\right|<\varepsilon\)

要注意的點

#1
為什麼是”先給 \(\varepsilon > 0\)”,而後才有”存在有\(\delta > 0\)”;
而不是”先給\(\delta > 0\)”,而後才有”存在有\(\varepsilon > 0\)”?

要釐清這個,就看往前面筆記,關於 \(\varepsilon\) 和 \(\delta\) 的關係。

若給定了 \(\delta > 0\),那就是給定了 x 的範圍 \((c-\delta , c+\delta)\)。既然給定了 x 的範圍,那 y 的範圍也定下來了,也就沒有討論”靠不靠近”的問題。

#2
由先前的定義應該可以得知 \(\delta\) 和 \(\varepsilon\) 緊緊相依。而 \(\delta\) 會隨著 \(\varepsilon\) 變小(也就是 \(\delta\) 是隨著 \(\varepsilon\) 而決定),因此我們有時會為了強調這個關係,而將 \(\delta\) 寫成 \(\delta (\varepsilon)\) 。

#3
\(\varepsilon\) 的存在並不唯一。只要取比 \(\varepsilon\) 小的都可以。(比它大的不知道走不走得進去,所以不行)


後記

以上筆記是聽高淑蓉老師的課後,稍微整理直接打出來的。往後應該會有越來越多這種筆記,藉此加深對觀念釐清的印象。


參考

高淑蓉老師微積分(一)

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