[calculus] (ε, δ)-definition 題目範例

延續上一篇: (ε, δ)-definition of limit

「存在有δ >0」的兩種狀況

在高淑蓉老師的微積分開放式課程中提到,「存在有 \(\delta >0\)」可分為兩種狀況:

  1. 去找 \(\delta >0\) -> 「去證明 \(\displaystyle{\lim_{x \to c}f(x)=L}\)」
    也就是說,定義尚未成立,因此要去找 \(\delta >0\)
  2. 得到 \(\delta >0\) -> 「已知有 \(\displaystyle{\lim_{x \to c}f(x)=L}\)」
    這種狀況是定義已經成立了(得到 \(\delta >0\))

題目講解

證明limit-基本題型

e.g. Show that \(\displaystyle{\lim_{x \to 2}3x=6}\)

proof:
先給定 \(\varepsilon\):Let \(\varepsilon>0\)
再來要找 \(x\) 滿足 \(\left | f(x)-L \right | < \varepsilon\) 這個不等式,在這個例子就是要滿足 \(\left | 3x-6 \right | < \varepsilon\) 。

把上述式子化簡:
\(\left | 3x-6 \right | < \varepsilon\)
\(\Rightarrow 3\left | x-2 \right | < \varepsilon\)
\(\Rightarrow \left | x-2 \right | < \displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\)

有把定義搞懂的話,很容易就可以看出 \(\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\) 代表的意義是題目這個狀態所能取到的最大區間(也如之前所說,取的方式很多,只要比這個值還小就行)。

既然已經求出可以取到的最大區間了,我們可以直接把這個 \(\displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\) 叫做 \(\delta\),並把最後結論用數學語言寫完整一些:

Take \(\delta = \displaystyle{\frac{\varepsilon}{3}}\).
Then \(\forall x \; in \; 0 < \left | x-2 \right | < \delta, \; \left | 3x-6 \right | < \varepsilon \)
(這部分就湊出 (ε, δ)-definition 的敘述了)

最後要記得提到當初要證明的東西:
Therefore \(\displaystyle{\lim_{x \to 2}3x=6}\)

證明limit-稍微變化的題型

e.g. Show that \(\displaystyle{\lim_{x \to 2}x^2=4}\)

proof:
題型一樣,只是過程稍微變化。 一樣先給定 \(\varepsilon\):Let \(\varepsilon>0\)
再來要找 \(x\) 滿足 \(\left | x^2-4 \right | < \varepsilon\) 這個不等式。

化簡:
\(\left | x^2 -4 \right |\)
\(=\left | (x-2) \right | \left | (x+2) \right | \)
\(=\left | x-2 \right | \left |x+2 \right | < \varepsilon\)

要跟 \(x-2\) 取得關聯,最後的化簡是
\( \left |x-2 \right | = \displaystyle{\frac{\varepsilon}{\left |x+2 \right |}}\)
和第一個範例不同的是,式子的右邊仍是一個函式,所以我們需要針對 \(x\) 取一個範圍。

就定義來看,這裡的範圍怎麼取都無所謂,但就是不能脫離2這個點。我隨便訂個數字,例如前後範圍是1 好了。接著利用我們訂出來的範圍去估 \(x+2\) ,這是我們的目標。

Assume \( \left |x-2 \right | < 1\) (要記得這裡的範圍是自己訂的)
Then \( -1< x-2 < 1\)
\( \Rightarrow 1< x < 3\)
\( \Rightarrow 3< x+2 < 5\)
\( \Rightarrow \left | x+2 \right | < 5\)

因此我們可以再回到原本卡住的地方,利用這個訂出來的範圍繼續寫下去。
\(\left | x^2 -4 \right |\)
\(=\left | x-2 \right | \left |x+2 \right |\)
\(<5\left | x-2 \right |\) ( \(\because \left | x+2 \right | < 5\) )
\(< \varepsilon\)
\( \Rightarrow \left | x-2 \right |< \displaystyle{\frac{\varepsilon}{5}}\)

這樣又可以回歸定義了,但是這裡要注意:
我們剛剛有對 \(x\) 自己抓了一個範圍,但是無法確定自己抓的這個數值會不會比\(\displaystyle{\frac{\varepsilon}{5}}\)還小(畢竟要討論的是 \(x\) 的靠近,不能反而取一個不夠靠近的數值),所以取 \(\delta\) 時要特別取較小值以防這個情況:

Take \(\delta = min(1,\displaystyle{\frac{\varepsilon}{5}})\)
Then \(\forall x \; in \; 0 < \left | x-2 \right | < \delta,\;\left | x^2-4 \right | < \varepsilon\)
Therefore \(\displaystyle{\lim_{x \to 2}x^2=4}\)

後記

我記得大一時剛接觸證明的東西七零八落,也沒打算好好搞懂,現在回頭來看整個觀念終於串在一起了。未來若有遇到更多題型會再新增的。


參考

高淑蓉老師微積分(一)

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