[numbers]阿基米德公理Archimedean axiom

此為讀《數學分析基礎》之筆記。

Axiom (Archimedean axiom)

敘述如下:
\(let \; a>0,b>0, then \; \exists N \in \mathbb{N}\ such\; that \; Na>b\)

有任意兩個數(大於0),不論這兩個數是什麼,總是有個N能夠足夠大到讓其中一個數超越另一個數。
例如說地板和毛毛雨,只要有足夠的時間,地板也能夠被雨所覆蓋(被超過)。

衍生例子和應用

  • 龜兔賽跑
    假設兔子以非常快的速度跑了一段非常長的距離,然後兔子開始睡覺。烏龜就算每天只能走1mm,最終還是能夠超越兔子。

  • 推論
    \(\forall r>0, r\in \mathbb{R}, \exists N\in\mathbb{N}\ such\;that\;N>r\)
    白話講就是對任一個正實數,總是存在一個自然數會大於這個正實數。

    pf:
    利用 \(1>0\) 和阿基米德公理,\(\exists N\in\mathbb{N}\ such\;that\;N1=N>r\)

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